Warum die Formel funktioniert
(a + b)2 ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge a + b. Dieses Quadrat zerfällt immer in vier Teile – und genau die stehen in der Formel.
Die beiden Rechtecke in der Mitte sind gleich groß. Deshalb steht in der Formel 2ab und nicht nur ab.
Die drei Formeln
Es sind drei Muster. Du erkennst am Vorzeichen in der Klammer, welches passt.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Plus in der Klammer, Plus überall.
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Nur das mittlere Glied wird negativ. b2 bleibt positiv, weil minus mal minus plus ergibt.
- (a + b)(a − b) = a2 − b2 Zwei Klammern, einmal Plus und einmal Minus. Die mittleren Glieder heben sich auf.
Schritt für Schritt: (x + 3y)2
Genau die Aufgabe vom Arbeitsblatt. Denk erst selbst nach, dann klapp den Schritt auf.
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Formel auswählen
In der Klammer steht ein Plus und die Klammer ist quadriert. Also die erste Formel: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
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Finde a und b
Leg die Klammern übereinander und vergleiche Stelle für Stelle.
Auflösen
a = x und b = 3y.
Wichtig: b ist 3y zusammen, nicht nur y. Die Zahl gehört mit dazu.
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Erstes Glied: a2
Setze x für a ein und quadriere.
Auflösen
x · x = x2
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Mittleres Glied: 2ab
Das heißt 2 mal a mal b. Erst einsetzen, dann die Zahlen zusammenfassen.
Auflösen
2 · x · 3y — die Zahlen 2 und 3 ergeben 6, die Buchstaben schreibst du dahinter:
6xy
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Letztes Glied: b2
Hier brauchst du eine Klammer, denn quadriert wird 3y als Ganzes.
Auflösen
(3y)2 = 3y · 3y = 3 · 3 · y · y = 9y2
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Zusammenschreiben und prüfen
(x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
Probe mit Zahlen
Setz einfache Zahlen ein, zum Beispiel x = 1 und y = 1:
Links: (1 + 3)2 = 16 — rechts: 1 + 6 + 9 = 16. Gleich, also stimmt es.
Die häufigste Falle
Fast alle Fehler passieren beim letzten Glied: Die Zahl vor dem Buchstaben wird vergessen.
Was ist (3y)2? Probier es mit y = 2, dann ist 3y = 6 und 62 = 36.
Hier wurde nur das y quadriert.
Die 3 wird mitquadriert: 3 · 3 = 9.
Üben
Trag die Bausteine einzeln ein. Schreibweise wie im Heft: 9y^2 oder 9y², beides wird erkannt.